设函数y=f（x）的定义域与值域均为R，其反函数为 - 知识问答

设函数y=f（x）的定义域与值域均为R，其反函数为y=f-1（x），且对任意实数x都有f(x)+23f−1(x)＝53x

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（Ⅰ）∵a_n+1=f（a_n），∴a_n=f^-1（a_n+1）
∵任意实数x都有f(x)+
2
3f−1(x)＝
5
3x，∴f(an+1)+
2
3f−1(an+1)＝
5
3an+1
∵a_n+1=f（a_n），即a_n=f^-1（a_n+1），∴f（a_n+1）=a_n+2，f^-1（a_n+1）=a_n
∴an+2+
2
3an＝
5
3an+1，即an+2−an+1＝
2
3(an+1−an)
∵b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），a₁=1，a2＝
5
3]
∴数列{b_n}是以a2−a1＝
5
3−1＝
2
3为首项，以q＝
2
3为公比的等比数列
故数列{b_n}的通项为bn＝(
2
3)n
（Ⅱ）（文）由bn＝an+1−an＝(
2
3)n得a_n-a₁=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）
=(
2
3)n−1+(
2
3)n−2+…+(
2
3)2+
2
3=2[1−(
2
3)n−1]
又∵a₁=1，∴an＝3−
2n
3n−1（n∈N^*），即数列{a_n}是递增数列，且a_n＜3（n∈N^*）
∴满足
m−1
2m+1＞an对所有n∈N^*恒成立的参数m必须满足

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