Question

已知在等式 ax+b cx+d =s 中，a，b，c，d都是有理数，x是无理数，

Answer 1

（1）当a=c=0，d≠0时，s=

b

d 是有理数．

当c≠0时，s=

ax+b

cx+d =

a

c (cx+d)+b-

ad

c

cx+d =

a

c +

b-

ad

c

cx+d ，

其中：

a

c 是有理数，cx+d是无理数， b-

ad

c 是有理数．

要使s为有理数，只有 b-

ad

c =0，即bc=ad．

综上知，当a=c=0且d≠0或c≠0且ad=bc时，s是有理数．

（2）当c=0，d≠0，且a≠0时，s是无理数．

当c≠0时，s=

ax+b

cx+d =

a

c (cx+d)+b-

ad

c

cx+d =

a

c +

b-

ad

c

cx+d

其中：

a

c 是有理数，cx+d是无理数， b-

ad

c 是有理数．

所以当 b-

ad

c ≠0，即bc≠ad，s为无理数．

综上知，当c=0，a≠0，d≠0或c≠0，ad≠bc时，s是无理数．