Question

在△ABC中,∠B=45°,AC=√10,cosC=2√5/5,求：⑴BC=?⑵若点D是AB的中点,求中线CD的长度.

Answer 1

解法一：用几何法

（1）作A点垂直BC于E,

CE＝AC×cosC＝√10×2√5/5=2√2,

AE²＝AC²-CD²=10-8=2,

AE=√2,

因∠BAE=∠B=45°

所以BE=AE＝√2

BC＝BE+CE＝3√2

（2）

AB²＝AE²+BE²=4

AB=2,

作D点垂直于BC于F点

则DF＝BF＝√2／2

CF＝CE＋EF＝2√2＋（√2－√2／2）＝5√2／2

CD²＝CF²+DF²＝25／2＋1／2＝13

CD＝√13

解法二,用三角法

因为cosC=2√5/5,则

sinC=√(1-cos^2C)=√5/5

根据正弦定理,可得

AC/sinB=AB/sinC,即√10/sin45＝AB/(√5/5)

AB=2

cosA=cos(180-B-C)=-cos(B+C)=sinBsinC-cosBcosC=-√10/10

sinA=√(1-cos^2A)=3√10/10

根据正弦定理,可得

BC/sinA=AC/sinB

BC=3√2

根据余弦定理,可得

CD^2=BC^2+BD^2-2BC*BDcosB=18-1-6=13

CD=√13