等腰三角形ABC的腰AB上的中线CD的长为2,则△ABC周长的最大值______.

3个回答

  • 解题思路:设等腰三角形ABC的腰AB=AC长为2x,底为y,根据三角形中线公式,可以得到2x2+y2=8,进而由柯西不等式可以得到△ABC周长4x+y的取值范围.

    设等腰三角形ABC的腰AB=AC长为2x,底为y,

    ∵腰AB上的中线CD的长为2,

    由中线公式可得2x2+y2=8①

    则周长C=4x+y②

    由柯西不等式就可得

    (2x2+y2)(8+1)≥(4x+y)2

    所以4x+y≤6

    2

    当且仅当2x2=8y2,即x=

    4

    2

    3,y=

    2

    2

    3时

    △ABC周长取最大值为6

    2

    故答案为:6

    2

    点评:

    本题考点: 二维形式的柯西不等式.

    考点点评: 本题考查的知识点是柯西不等式,其中根据三角形中线公式求出等腰三角形ABC的腰AB=AC长为2x,底为y时,2x2+y2=8是解答的关键.