Question

证明 有限覆盖定理 闭区间 [a,b]的任何一个开覆盖必有有限子覆盖

Answer 1

用反证法,结合闭区间套定理

设[a,b]不能被{Jx}中有限个开区间覆盖

则将[a,b]二等分,必有一个闭区间[a1,b1]不能被有限覆盖

再将[a1,b1]二等分,必有一个闭区间[a2,b2]不能被有限覆盖

如此下去,得到{[an,bn]}闭区间套,满足其中每一个闭区间都不能被有限覆盖

所以存在m∈∩[an,bn],liman=limbn=m

因为m∈[a,b],所以在{Jx}中至少有一个Jp=(α,β)盖住m

即α