(1).直线方程为:y=k*(x+2).
代入椭圆x^+2y^=2组得:
(2k^2+1)x^2+8(k^2)*x+8(k^2)-2=0
得两根之和为:x1+x2=(-8k^2)/(2k^2+1)
==>P点x坐标为:Xp=1/2*(x1+x2)=(-4k^2)/(2k^2+1)
因Xp在直线:y=k*(x+2)上,求得
Yp=k*((-4k^2)/(2k^2+1)+2)
=2k/(2k^2+1)
k'=Yp/Xp=[2k/(2k^2+1)]/[(-4k^2)/(2k^2+1)]
=2k/(-4k^2)=-1/(2K)
k*k'=k*(-1/(2K))=-1/2 ==>为一常数.
(2).△OMP面积=(1/2)*|OM|*|Yp|=(1/2)*2*|Yp|
=|2k/(2k^2+1)|
=2|k|/(2k^2+1)>0.面积=0时不为三角形
欲求2|k|/(2k^2+1)的最大值.则可先求其倒数的最小值:
1/[2|k|/(2k^2+1)]=(2k^2+1)/2|k| (条件:|k|>0)
=|k|+1/(2|k|)
>=2*根号下(|k|*1/(2|k|)) 算术平均数不小于几何平均数.
=2*根号下(1/2)
=根号下(2)
所以:2|k|/(2k^2+1)最大值为:1/根号下(2)=(1/2)*根号下(2)
即△OMP面积的取值范围为(0,(1/2)*根号下(2)]