Question

设函数f（x）具有连续的一阶导数，且满足f(x)＝∫x0(x2−t2)f′(t)dt+x2，求f（x）的表达式．

Answer 1

解题思路：对含变上限积分的函数方程，一般先对x求导，再积分即可．

由方程可得 f（0）=0．由于：f（x）=∫x0(x2−t2)f′(t)dt+x2方程两边对x求导得：f′(x)＝2x∫x0f′(t)dt+2x⇒f′(x)＝2xf(x)+2x，此为一阶线性方程，代入一阶线性微分方程解，得：f(x)＝e∫2xdx(∫2xe−∫2xdx...

点评：

本题考点： 积分上限函数及其求导．

考点点评： 利用变限积分的可导性是解函数方程的方法之一．本题属于基础题．