Question

请利用拉格朗日乘数法求建一个容积等于4的长方形无盖水池,应该如何选择水池尺寸

Answer 1

设长宽高分别问x,y,z 体积V=xyz 设造价为L=2(xy+yz+xz),得拉格朗日函数

L(x,y,z,p)=2(xy+yz+xz)+p(xyz-V) 对L求偏导并令他们都等于0

2(y+z)+pyz=0

2(x+z)+pxz=0

2(x+y)+pxy=0

xyz-V=0

解前3个方程有 (x-y)(pz+2)=0 (x-z)(py+2)=0 (y-z)(px+2)=0 p=-1/15只有x=y=z 时才能取到极值.

由此可见容积应为4立方米

x=y=z=4的立方根米