在某高中数学竞赛附加试卷中只有三道题,已知:该校25个学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;在所有没有解出第一题的学生中

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  • 解题思路:先设出集合和集合的元素个数,根据原题中的条件列出方程,化简方程,确定所求解的未知数的范围,再结合元素的个数为正整数这一特点,即可得解

    设解出甲、乙、丙三题的学生的集合分别为A、B、C,并用三个圆表示之,则重叠部分表示同时解出两题或三题的学生的集合,其人数分别以a,b,c,d,e,f,g表示.

    由于每个学生至少解出一题,故a+b+c+d+e+f+g=25①

    由于没有解出甲题的学生中,解出乙题的人数是解出丙题的人数的2倍,

    故b+f=2(c+f)②

    由于只解出甲题的学生比余下的学生中解出甲题的学生的人数多1,故a=d+e+g+1③

    由于只解出一题的学生中,有一半没有解出甲题,故a=b+c④

    由②得:b=2c+f,f=b-2c⑤

    以⑤代入①消去f得a+2b-c+d+e+g=25⑥

    以③、④分别代入⑥得:2b-c+2d+2e+2g=24⑦

    3b+d+e+g=25⑧

    以2×⑧-⑦得:4b+c=26⑨

    ∵c≥0,∴4b≤26,b≤6[1/2].

    利用⑤⑨消去c,得f=b-2(26-4b)=9b-52

    ∵f≥0,∴9b≥52,b≥[52/9].

    ∵b∈Z,

    ∴b=6.即只解出乙题的学生有6人.

    点评:

    本题考点: 进行简单的合情推理.

    考点点评: 本题重点考查合情推理,考查用Venn图解决集合问题,利用条件构建方程,确定未知数范围是关键.属中档题

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