（1）把x=0,y=0代入y=-x2+bx+c中,得c=0,
再把x=2t,y=0代入y=-x2+bx中,得b=2t
故抛物线的解析式为y=-x2+2tx．
（2）∵t＞0,
∴在点P和矩形ABCD开始运动时就经过矩形区域ABCD,
当抛物线经过点A时,将A（t+4,9）代入y=-x2+2tx中,得-（t+4）2+2t（t+4）=9,
整理,解方程得：t1=-5（舍去）,t2=5,
即可得当t＞5时,抛物线不在经过矩形区域ABCD,
综上可得t的范围为：0＜t≤5,
（3）如图,当t=4秒时,此时点D和点P重合,抛物线的解析式为y=-x2+8x．
设直线MP的解析式为y=kx+b,
∵点M（4,16）和点P（8,0）在直线MP上,
∴
4k+b=16
8k+b=0
,
得
k=-4
b=32
,
∴直线MP的解析式为y=-4x+32；
设F（m,-4m+32）,则E（m,-m2+8m）,
∵点F在线段MP上运动,
∴4≤m≤8,
∴EF=-m2+8m-（-4m+32）=-m2+12m-32,
∴当m=-
b
2a
=6时,EF=
4ac-b2
4a
=
4×(-1)×(-32)-122
4×(-1)
=
16
4
=4,
∴线段EF的最大值是4．