(2012•临沂二模)已知函数f(x)满足f(x+1)=−1f(x),且f(x)是偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=

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  • 解题思路:根据

    f(x+1)=−

    1

    f(x)

    ,可得f(x)是周期为2的周期函数. 再由f(x)是偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x2,可得函数在[-1,3]上的解析式.根据题意可得

    函数y=f(x)的图象与直线y=kx+k 有4个交点,数形结合可得实数k的取值范围.

    ∵函数f(x)满足f(x+1)=−

    1

    f(x),故有f(x+2)=f(x),故f(x)是周期为2的周期函数.再由f(x)是偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x2

    可得当x∈[-1,0]时,f(x)=x2,故当x∈[-1,1]时,f(x)=x2 ,当x∈[1,3]时,f(x)=(x-2)2

    由于函数g(x)=f(x)-kx-k有4个零点,故函数y=f(x)的图象与直线y=kx+k 有4个交点,如图所示:

    把点(3,1)代入y=kx+k,可得k=[1/4],数形结合可得实数k的取值范围是 (0,

    1

    4],

    故选C.

    点评:

    本题考点: 函数的周期性;函数奇偶性的性质.

    考点点评: 本题主要考查函数的周期性的应用,函数的零点与方程的根的关系,体现了转化、数形结合的数学思想,属于基础题.