解题思路:根据
f(x+1)=−
1
f(x)
,可得f(x)是周期为2的周期函数. 再由f(x)是偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x2,可得函数在[-1,3]上的解析式.根据题意可得
函数y=f(x)的图象与直线y=kx+k 有4个交点,数形结合可得实数k的取值范围.
∵函数f(x)满足f(x+1)=−
1
f(x),故有f(x+2)=f(x),故f(x)是周期为2的周期函数.再由f(x)是偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x2,
可得当x∈[-1,0]时,f(x)=x2,故当x∈[-1,1]时,f(x)=x2 ,当x∈[1,3]时,f(x)=(x-2)2.
由于函数g(x)=f(x)-kx-k有4个零点,故函数y=f(x)的图象与直线y=kx+k 有4个交点,如图所示:
把点(3,1)代入y=kx+k,可得k=[1/4],数形结合可得实数k的取值范围是 (0,
1
4],
故选C.
点评:
本题考点: 函数的周期性;函数奇偶性的性质.
考点点评: 本题主要考查函数的周期性的应用,函数的零点与方程的根的关系,体现了转化、数形结合的数学思想,属于基础题.