Question

如果项数均为n（n≥2，n∈N+）的两个数列{an}，{bn}满足ak-bk=k（1，2，…，n），且集合{a1，a2，

Answer 1

解题思路：（I）依题意可求得a₁+a₂+a₃+a₄和b₁+b₂+b₃+b₄的和与差，从而求得a₁+a₂+a₃+a₄和b₁+b₂+b₃+b₄的值，再举例．

（II）利用反证法，假设存在15项相关数列，可求得2（a₁+a₂+…+a₁₅）=585，从而得出矛盾，即证明不存在．

（III）对于确定的n，任取一对“n项相关数列”{a_n}，{b_n}，令c_k=2n+1-b_k，d_k=2n+1-a_k（k=1，2，…，n），证明{c_n}，{d_n}也必为“n项相关数列”．说明符合条件的“n项相关数列”有偶数对．

（Ⅰ）依题意，a₁-b₁=1，a₂-b₂=2，a₃-b₃=3，a₄-b₄=4，相加得，

a₁+a₂+a₃+a₄-（b₁+b₂+b₃+b₄）=10，又a₁+a₂+a₃+a₄+b₁+b₂+b₃+b₄=36，

则a₁+a₂+a₃+a₄=23，b₁+b₂+b₃+b₄=13．

“4项相关数列”{a_n}：8，4，6，5；{b_n}：7，2，3，1（不唯一）

（“4项相关数列”共6对：{a_n}：8，5，4，6；{b_n}：7，3，1，2

或{a_n}：7，3，5，8；{b_n}：6，1，2，4

或{a_n}：3，8，7，5；{b_n}：2，6，4，1

或{a_n}：2，7，6，8；{b_n}：1，5，3，4

或{a_n}：2，6，8，7；{b_n}：1，4，5，3

或{a_n}：8，4，6，5；{b_n}：7，2，3，1

（Ⅱ）不存在．

理由如下：

假设存在“15项相关数列”{a_n}，{b_n}，

则a₁-b₁=1，a₂-b₂=2，…，a₁₅-b₁₅=15，相加，得（a₁+a₂+…+a₁₅）-（b₁+b₂+…+b₁₅）=120

又由已知a₁+a₂+…+a₁₅+b₁+b₂+…+b₁₅=1+2+…+30=465，由此2（a₁+a₂+…+a₁₅）=585，显然不可能，所以假设不成立．

从而不存在“15项相关数列”{a_n}，{b_n}

（Ⅲ）对于确定的n，任取一对“n项相关数列”{a_n}，{b_n}，

令c_k=2n+1-b_k，d_k=2n+1-a_k（k=1，2，…，n），

先证{c_n}，{d_n}也必为“n项相关数列”．

因为c_k-d_k=（2n+1-b_k）-（2n+1-a_k）=a_k-b_k=k（k=1，2，…，n），

又因为{a₁，a₂，…，a_n，b₁，b₂，…，b_n}={1，2，3，4，…，2n}，很显然有{（2n+1）-a₁，（2n+1）-a₂，…，（2n+1）-a_n，（2n+1）-b₁，（2n+1）-b₂，…，（2n+1）-b_n}={1，2，3，…，2n}，

所以{c_n}，{d_n}也必为“n项相关数列”．

再证数列{c_n}与{a_n}是不同的数列．

假设{c_n}与{a_n}相同，则{c_n}的第二项c₂=2n+1-b₂=a₂，又a₂-b₂=2，则2b₂=2n-1，即b2＝

2n−1

2，显然矛盾．

从而，符合条件的“n项相关数列”有偶数对．

点评：

本题考点： 数列的应用．

考点点评： 本题考查了数列的应用，考查反证法证明问题的步骤，综合性强，在证明（III）时，构造数列{Cn}，{dn}，证明{Cn}，{dn}也为“n项相关数列”是关键．