解题思路：（1）设g（x）=
kx−1/x+1]，求出导数，再由单调性可得g（x））是（-1，+∞）上的增函数，运用导数非负，即可得到；
（2）先猜想满足条件的最大整数k=2．再证明，设h（x）=ln（x+1）+[3/x+1]，再由导数判断单调性，再由单调性得到h（x）≥h（2），即可得证．
（1）设g（x）=[kx−1/x+1]，导数g′（x）=
k(x+1)−kx+1
(x+1)2=[k+1
(x+1)2
由于f（x））是（-1，+∞）上的增函数，且e＞1，则g（x））是（-1，+∞）上的增函数，
即有g′（x）≥0，即有k≥-1，即k的取值范围是[-1，+∞）；
（2）由条件可得，f（1）＜2，即e
k−1/2]＜2，即有k＜1+2ln2＜3，猜想满足条件的最大整数k=2．
证明：对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＜x+1．
e
2x−1
x+1＜x+1⇔2-[3/x+1]＜ln（x+1）⇔ln（x+1）+[3/x+1]＞2，
设h（x）=ln（x+1）+[3/x+1]，则h′（x）=[1/x+1−
3
(x+1)2]=[x−2
(x+1)2
当0＜x＜2时，h′（x）＜0，当x＞2时，h′（x）＞0，
则∀x＞0，则h（x）≥h（2）=1+ln3＞2，
即有对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＜x+1．
则满足条件的最大整数k=2．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 本题考查导数的运用：求单调区间和判断单调性，考查不等式恒成立思想，以及单调性的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．
1年前
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