解题思路：（1）当t=1时，f（x）=4x3+3x2-6x，f′（x）=12x2+6x-6，由此能求出曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程．
（2）f′（x）=12x2+6tx-6t2，令f′（x）=0，解得x=-t，或x=[t/2]．由此进行分类讨论，能求出f（x）的单调区间．
（3）当t＞0时，f（x）在（0，[t/2]）内的单调递减，在（
t
2
，+∞
）内单调递增，由此利用分类讨论思想能够证明对任意的t∈（0，∝），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．
（1）当t=1时，f（x）=4x3+3x2-6x，
f′（x）=12x2+6x-6，f′（0）=-6，
所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=-6x．
（2）f′（x）=12x2+6tx-6t2，
令f′（x）=0，解得x=-t，或x=[t/2]．
因为t≠0，以下分两种情况讨论：
①若t＜0，则[t/2＜−t，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x （-∞，
t
2]） （[t/2，−t） （-t，-∞）
f′（x） + - +
f（x） ↑ ↓ ↑所以，f（x）的单调递增区间是（-∞，
t
2]），（-t，+∞）；f（x）的单调递减区间是（[t/2，−t）．
②若t＞0，则-t＜
t
2]，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x （-∞，-t） （-t，[t/2]） （[t/2]，+∞）
f′（x） + - +
f（x） ↑ ↓ ↑所以，f（x）的单调递增区间是（-∞，t），（[t/2]，+∞）；
f（x）的单调递减区间是（-t，[t/2]）．
综上可得：
当t＜0时，f（x）的单调递增区间是（-∞，[t/2]），（-t，+∞）；f（x）的单调递减区间是（[t/2，−t）．
当t＞0时，f（x）的单调递增区间是（-∞，t），（
t
2，+∞）；f（x）的单调递减区间是（-t，
t
2]）．
（3）由（2）可知，当t＞0时，f（x）在（0，[t/2]）内的单调递减，在（[t/2，+∞）内单调递增，以下分两种情况讨论：
①当
t
2≥1，即t≥2时，f（x）在（0，1）内单调递减，
f（0）=t-1＞0，
f（1）=-6t2+4t+3≤-6×4-4×2+3＜0．
所以对任意t∈[2，+∞），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．
②当0＜
t
2]＜1，即0＜t＜2时，f（x）在（0，[t/2]）内的单调递减，在（[t/2]，1）内单调递增，
若t∈（0，1]，f（[1/2]）=−
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评： （1）简单考查导数的几何意义，导数运算以及直线方程；（2）考查导数在研究函数的单调性方面的运用，分类讨论；（3）考查分类讨论，函数与方程以及函数零点的性质，是中档偏上题．