解题思路：（1）设P（x，y），由|AB|=2，且P为AB的中点，可得|OP|=1，由两点间的距离公式求得点P的轨迹方程．
（2）①当切线的斜率不存在时，由条件易得x=1符合条件；②当切线的斜率存在时，设出切线方程，由切线的性质可
解得斜率k的值，用点斜式求得切线方程．
（1）设P（x，y），∵|AB|=2，且P为AB的中点，∴|OP|=1，∴点P的轨迹方程为x2+y2=1．
（2）①当切线的斜率不存在时，切线方程为x=1，由条件易得x=1符合条件；
②当切线的斜率存在时，设切线方程为y-2=k（x-1），即kx-y+2-k=0，由
|2−k|
k2+1＝1，
解得k=[3/4]，∴切线方程为y-2=[3/4]（x-1），即3x-4y+5=0．
综上，过点M（1，2）且和轨迹C相切的直线方程为：x=1或3x-4y+5=0．
点评：
本题考点： 轨迹方程；直线与圆的位置关系．
考点点评： 本题考查点轨迹方程的求法，两点间的距离公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，注意考虑切线的斜率不存在的情况，这是易错点，属于中档题．