Question

设a为实数，函数f（x）=x2+|x-a|+1，x∈R

Answer 1

解题思路：（1）用特殊值法判断函数及不是奇函数又不是偶函数；

（2）根据二次函数的单调性即可得到结论．．

（1）当a=0时，函数f（-x）=（-x）²+|-x|+1=f（x），此时，f（x）为偶函数．

当a≠0时，f（a）=a²+1，f（-a）=a²+2|a|+1，f（a）≠f（-a），f（a）≠-f（-a），

此时f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．

（2）若a=2，则f（x）=x²+|x-a|+1=x²+|x-2|+1

①当x≤2时，f（x）=x²-x+3=（x-[1/2]）²+[11/4]，

此时当x=[1/2]时，函数f（x）的最小值为f（[1/2]）=[11/4]，

②当x≥2时，函数f（x）=x²+x-1=（x+[1/2]）²-[5/4]，

函数f（x）在[2，+∞）上的最小值为f（2）=3，

综上当x=[1/2]时，函数f（x）的最小值为f（[1/2]）=[11/4]．

点评：

本题考点： 函数奇偶性的判断；函数的最值及其几何意义．

考点点评： 本题主要考查函数奇偶性的判断，以及二次函数的单调性和函数的最值，考查分类讨论思想，综合性较强，运算量较大．