Question

已知函数f（x）=（2x 2 -kx+k）•e -x ．

Answer 1

（1）∵f′（x）=（4x-k）e ^-x-（2x ²-kx+k）e ^-x
=[-2x ²+（k+4）x-2k]e ^-x= -2(x-2)(x-

k

2 ) e -x

∴k=4时，f′（x）=-2（x-2） ²e ^-x≤0，此时，f（x）无极值．（5分）

（2）当k≠4时，由f′（x）=0得x=2或 x=

k

2 ．

当x变化时，f′（x）、f（x）的变化如下表：

①当k＜4，即

k

2 ＜2 时

②当k＞4，即

k

2 ＞2 时

∴k＜4时，由 f(

k

2 )=0 得 2×

k 2

4 -

k 2

2 +k=0 ，

∴k=0k＞4时，由f（2）=0得8-k=0，∴k=8

综上所述，k=0或8时，f（x）有极小值0．（12分）