已知数列
的前
项和为
，且
(
N *),其中
．
(Ⅰ) 求
的通项公式；
(Ⅱ) 设
(
N *).
①证明：
；
② 求证：
.
(Ⅰ)
.(Ⅱ)见解析
本试题主要考查了数列的通项公式的求解和运用。运用
关系式，表示通项公式，然后得到第一问，第二问中利用放缩法得到
，②由于
，
所以
利用放缩法，从此得到结论。
(Ⅰ)当
时，由
得
. ……2分
若存在
由
得
，
从而有
，与
矛盾，所以
.
从而由
得
得
. ……6分
(Ⅱ)①证明：
证法一：∵
∴
∴
∴
.…………10分
证法二：
，下同证法一.……10分
证法三：（利用对偶式）设
，
，
则
.又
，也即
，所以
，也即
，又因为
，所以
.即
………10分
证法四：（数学归纳法）①当
时,
,命题成立;
②假设
时,命题成立,即
,
则当
时,
即
即