Question

(1/2)问你道题：设a,b,c,x,y,z是正数,且a,b,c的平方和等于10,x,y,z的平方和等于40,ax+by

Answer 1

由柯西不等式得：

(a^2＋b^2＋c^2)(x^2＋y^2＋z^2)≥(ax＋by＋cz)^2

当且仅当a/x＝b/y＝c/z时等号成立

由已知：a^2＋b^2＋c^2=10,x^2＋y^2＋z^2＝40,ax＋by＋cz＝20,等号成立,

故得：a/x＝b/y＝c/z

设a/x＝b/y＝c/z＝k,

则有：a＝kx,b＝ky,c＝kz

∴kx^2＋ky^2＋kz^2＝20k(x^2＋y^2＋z^2)＝2040k=20

∴k＝1/2由等比性质得：k＝a/x＝b/y＝c/z＝(a＋b＋c)/(x＋y＋z)＝1/2