解题思路：（I）利用导数求出函数的极值，然后求f（x）的单调区间；
（II）依题意，ma＜f（x）max，由（I）可得f（x）在x=e处取得最大值，故问题转化为ma-
1/e]＜0对于任意的a∈（-1，1）恒成立，即可求m的取值范围；
（III）由（Ⅰ）知函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，从而可得lnx2≥1-[1
x
2
．再利用叠加及放缩，可得ln1+ln2+…+lnn＞
(n−1)
2
/2n]恒成立，再结合柯西不等式即可证明不等式成立．
（Ⅰ）f′（x）=
1
x−
1
x2]=[x−1
x2，x＞0．
令f′（x）＞0，得x＞1，因此函数f（x）的单调递增区间是（1，+∞）．
令f′（x）＜0，得0＜x＜1，因此函数f（x）的单调递减区间是（0，1）．…（4分）
（Ⅱ）依题意，ma＜f（x）max．
由（Ⅰ）知，f（x）在[1，e]上是增函数，
∴f（x）max=f（e）=lne+
1/e]-1=[1/e]．
∴ma＜[1/e]，即ma-[1/e]＜0对于任意的a∈（-1，1）恒成立．
∴
m×1−
1
e≤0
m×(−1)−
1
e≤0解得-[1/e]≤m≤[1/e]．
所以，m的取值范围是[-[1/e]，[1/e]]．…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，
故f（x）=lnx+[1/x]-1≥f（1）=0，
∴lnx≥1-[1/x]，以x2替代x，得lnx2≥1-[1
x2．
∴ln2l+1n22+…+ln2n＞1-
1
12+1-
1
22+…+1-
1
n2
即ln2l+1n22+…+ln2n＞n-（
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用；柯西不等式的几何意义；柯西不等式在函数极值中的应用．
考点点评： 本题是中档题，考查函数的导数的应用，不等式的综合应用，柯西不等式的应用，考查计算能力，转化思想的应用．
1年前
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