Question

f(x)=1/2x^2+lnx,证在〔-1,1〕f(x)图像总在g(x)=2/3x^3下方

Answer 1

f'(x)=x+1/x

g'(x)=2x^2

令F(x)=g'(x)-f'(x)=2x^2-x-1/x=[(x-1)(2x^2+x+1)]/x

因为 2x^2+x+1＞0恒成立. 所以讨论 (x-1)/x的符号.

因为x∈(-1,1) 但对于f(x). 因为有lnx存在. 所以x必须＞0

所以x∈(0,1) .. 所以(x-1)/x＜0

所以F(x)＜0 在x∈(0,1)上

所以g(x)-f(x)＜g(1)-f(1)=1/6＞0

所以g(x)＞f(x) 在x∈(0,1)上