Question

（2014•孝感二模）已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，且2Sn=an+2n2（n∈N*）．

Answer 1

解题思路：（1）由已知条件求出a₁=2，a₂=4，从而得到公差d=a₂-a₁=2，由此能求出a_n，S_n．

（2）由a_k，a_2k-2，a_2k+1（k∈N）是等比数列{b_n}的前三项，求出k=4，从而得到a_nb_n=

32

3

n•(

3

2

)

n

，由此利用错位相减法能求出T_n．

（1）∵{a_n}为等差数列，且2S_n=a_n+2n²（n∈N^*），设公差为d，

当n=1时，2S₁=2a₁=a₁+2，解得a₁=2，

当n=2时，2（2+a₂）=a₂+2×4，解得a₂=4，

∴d=a₂-a₁=4-2=2，

∴a_n=2+2（n-1）=2n，

Sn＝

n(2+2n)

2=n（n+1）．

（2）∵a_k，a_2k-2，a_2k+1（k∈N）是等比数列{b_n}的前三项，

∴a2k−22＝ak•a2k+1，

∴4（2k-2）²=2k•2（2k+1），

整理，得2k²-9k+4=0，

解得k=4或k=[1/2]（舍），

∴a₄，a₆，a₉成等比数列，且q=

a6

a4=[3/2]．

∴bn＝b1•qn−1=8（[3/2]）^n-1，

∴a_nb_n=2n•8（[3/2]）^n-1=[32/3n•(

3

2)n，

∵T_n=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n，

∴Tn＝

32

3][1×[3/2]+2×(

3

2)2+3×(

3

2)3+…+n•(

3

2)n]，①

[3/2Tn=

32

3][1×(

3

2)2+2×(

3

2)3+3×(

3

2)4+…+n•(

3

2)n+1]，②

①-②，得-

点评：

本题考点： 数列的求和；数列递推式．

考点点评： 本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．