Question

已知f（ex）=x2-2x+3，x∈[2，3]

Answer 1

解题思路：（1）首先使用换元法求函数的解析式，进一步求函数的定义域

（2）由（1）的结论，利用函数的单调性求函数的值域．

（1）f（e^x）=x²-2x+3 ①

设e^x=t则x=lnt，代入①式得f（t）=（lnt）²-2lnt+3，

∴f（x）=（lnx）²-2lnx+3，

又x∈[2，3]，可得t=e^x∈[e²，e³]，则函数的定义域：[e²，e³]

（2）由（1）得，x∈[e²，e³]，即有lnx∈[2，3]，

∴f（x）=（lnx）²-2lnx+3=（lnx-1）²+2，函数f（x）在lnx∈[2，3]是单调递增函数．

当x=e²时，f（x）_min=3，

当x=e³时，f（x）_max=6，

故答案为：（1）f（x）=（lnx）²-2lnx+3 x∈[e²，e³]，

（2）当x=e²时，f（x）_min=3；当x=e³时，f（x）_max=6．

点评：

本题考点： 二次函数在闭区间上的最值；函数解析式的求解及常用方法．

考点点评： 本题考查的知识点：换元法在求解析式中的应用，求函数的定义域，利用函数的单调性进行求函数的值域及相关的运算．