Question

德国著名数学家高斯（Gauss）在上小学时就已求出计算公式1+2+3+…+n＝ n(n+1)/2

Answer 1

（1）3a^2+3a+1=(a+1)^3-a^3

（2）这 n 个式子分别是

3*1^2+3*1+1=2^3-1^3

3*2^2+3*2+1=3^3-2^3

3*3^2+3*3+1=4^3-3^3

.

3*n^2+3*n+1=(n+1)^3-n^3

（3）把以上 n 个式子左右两边分别相加,可得

3*(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3*(1+2+3+.+n)+n*1=(n+1)^3-1^3 ,

所以 3*(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3*n(n+1)/2+n=n^3+3n^2+3n

3*(1^2+2^2+3^2+.+n^2)=n^3+3n^2+3n-3n(n+1)/2-n=1/2*n(n+1)(2n+1) ,

两边除以 3 得 1^2+2^2+3^2+.+n^2=1/6*n(n+1)(2n+1) .