因为P为AB边上(除A外)的任意一点
所以当P与B重合时,可得,AB:AB+AC:AQ=3
所以AC:AQ=2,此时Q为AC边中点,即直线BM过AC边中点
同理,因为Q为AC边上(除A外)的任意一点
所以当Q与C重合时,可得,AB:AP+AC:AC=3
所以AB:AP=2,此时P为AB边中点,即直线CM过AB边中点
设D为AC边中点,E为AB边中点,连接ED,直线AM分别交ED、BC于G、F,则
因为ED是△ABC的一条中位线,所以EG:BF=AE:AB=1/2
因为EG:FC=EM:MC=DM:MB=ED:BC=1/2,所以EG:BF=EG:FC=1/2,所以BF=FC
因为BF=FC,所以F为BC边上中点
因为直线BM过AC边中点D,直线CM过AB边中点E,直线 AM过BC边中点F
所以M为△ABC的重心
如题,若已知M为重心,亦可求证:AB:AP+AC:AQ=3.
证明:作BF、CE平行于PQ,分别交AC、AB于F、E,AM的延长分别交CE、BC、BF于G、D、H,则
因为M为△ABC的重心,所以D为BC边中点
因为BF平行于PQ,CE平行于PQ,所以BF平行于CE
因为BD=DC,BF平行于CE,所以GD=DH
因为M为△ABC的重心,所以AM=2MD=MD+(MG+GD)
因为GD=DH,AM=MD+(MG+GD)
所以AM=MD+MG+DH=(MD+DH)+MG=MH+MG
因为AM=MH+MG,所以3AM=(AM+MH)+(AM+MG)=AH+AG
因为3AM=AH+AG,所以3=AH:AM+AG:AM
因为BF平行于PQ,所以AH:AM=AB:AP
因为CE平行于PQ,所以AG:AM=AC:AQ
因为3=AH:AM+AG:AM=AB:AP+AC:AQ
所以AB:AP+AC:AQ=3