十字相乘法——借助画十字交叉线分解系数,从而把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.
十字相乘法是二次三项式分解因式的一种常用方法,它是先将二次三项式 的二次项系数a及常数项c都分解为两个因数的乘积（一般会有几种不同的分法）
然后按斜线交叉相乘、再相加,若有 ,则有 ,否则,需交换 的位置再试,若仍不行,再换另一组,用同样的方法试验,直到找到合适的为止.
3.因式分解的一般步骤
（1） 如果多项式的各项有公因式时,应先提取公因式；
（2） 如果多项式的各项没有公因式,则考虑是否能用公式法来分解；
（3） 对于二次三项式的因式分解,可考虑用十字相乘法分解；
（4） 对于多于三项的多项式,一般应考虑使用分组分解法进行.
在进行因式分解时,要结合题目的形式和特点来选择确定采用哪种方法.以上这四种方法是彼此有联系的,并不是一种类型的多项式就只能用一种方法来分解因式,要学会具体问题具体分析.
在我们做题时,可以参照下面的口诀：
首先提取公因式,然后考虑用公式；
十字相乘试一试,分组分得要合适；
四种方法反复试,最后须是连乘式.1．双十字相乘法
分解二次三项式时,我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我们也可以用十字相乘法分解因式．
例如,分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列,并把y当作常数,于是上式可变形为
2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3),
可以看作是关于x的二次三项式．
对于常数项而言,它是关于y的二次三项式,也可以用十字相乘法,分解为
即
-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．
再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解
所以
原式=〔x+(2y-3)〕〔2x+(-11y+1)〕
=(x+2y-3)(2x-11y+1)．
上述因式分解的过程,实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起,可得到下图：
它表示的是下面三个关系式：
(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；
(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；
(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．
这就是所谓的双十字相乘法．
用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：
(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2,得到一个十字相乘图(有两列)；
(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上,要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey,第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．
例1 分解因式：
(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；
(2)x2-y2+5x+3y+4；
(3)xy+y2+x-y-2；
(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．
解 (1)
原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．
(2)
原式=(x+y+1)(x-y+4)．
(3)原式中缺x2项,可把这一项的系数看成0来分解．
原式=(y+1)(x+y-2)．
(4)
原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．
说明 (4)中有三个字母,解法仍与前面的类似．
2．求根法
我们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式,并用f(x),g(x),…等记号表示,如
f(x)=x2-3x+2,g(x)=x5+x2+6,…,
当x=a时,多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)
f(1)=12-3×1+2=0；
f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．
若f(a)=0,则称a为多项式f(x)的一个根．
定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根,即f(a)=0成立,则多项式f(x)有一个因式x-a．
根据因式定理,找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x),要求出它的根是没有一般方法的,然而当多项式f(x)的系数都是整数时,即整系数多项式时,经常用下面的定理来判定它是否有有理根．