Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-2，e≈2.718285．

Answer 1

（Ⅰ）f′（x）=lnx+1，

当x∈(0，

1

e)，f/(x)＜0，f(x)单调递减，

当x∈(

1

e，+∞)，f/(x)＞0，f(x)单调递增，

所以0＜t＜

1

e＜t+1，即0＜t＜

1

e时，f(x)min＝f(

1

e)＝−

1

e；

[1/e≤t＜t+1，即t≥

1

e]时，f（x）在[t，t+1]上单调递增，f（x）_min=f（t）=tlnt，

综上得f(x)min＝

−

1

e，0＜t＜

1

e

tlnt，t≥

1

e

（Ⅱ）xlnx≥-x²+ax-2，∴a≤lnx+x+

2

x

设h(X)＝lnx+x+

2

x(x∈[1，e])，

∴h/(x)＝

(x+2)(x−1)

x2

x∈[1，e]，h′（x）≥0，h（x）单调递增，

∴存在x₀∈[1，e]，使得f（x₀）≥g（x₀）成立，即a≤h(x)max＝h(e)＝e+

2

e+1

（Ⅲ）问题等价于证明xlnx＞

x

ex−1(x∈(0，+∞))成立

由（I）可知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是−

1

e，当且仅当x＝

1

e时取到

设F(x)＝

x

ex