证明：（1）在等腰Rt△BCD中，BD=CD，
∵∠BDC=90°，
∴∠BDC=∠ADC=90°，
∵在△FBD和△ACD中，
DA=DF
∠BDC=∠ADC
BD=CD ，
∴△FBD≌△ACD（SAS）；
（2）∵△FBD≌△ACD，
∴∠DBF=∠DCA，
∵∠ADC=90°，
∴∠DAC+∠A=90°，
∴∠DBF+∠A=90°，
∴∠AEB=180°-（∠DBF+∠A）=90°，
∵BF平分∠DBC，
∴∠ABF=∠CBF，
∵在△ABE和△CBE中，
∠AEB=∠CEB=90°
BE=BE
∠ABF=∠CBF ，
∴△ABE≌△CBE（ASA），
∴AB=CB，
∴△ABC是等腰三角形；
（3）∵△FBD≌△ACD，
∴BF=AC，
∵△ABE≌△CBE，
∴AE=CE=
1
2 AC，
∴CE=
1
2 BF；
（4）连接CG，∵在等腰Rt△BCD中，H是BC边的中点，
∴DH垂直平分BC，
∴BG=CG，
∴∠GBC=∠GCB，
∴∠EGC=∠GBC+∠GCB=2∠GBC=45°，
∴△EGC是等腰直角三角形，
∴CG=
2 GE，
即BG=
2 CE，
∴BG：GE=
2 ．