Question

A,B是n阶方阵,E是n阶单位阵,求证：ABA=B^-1的充分必要条件是:秩(E+AB)+秩(E-AB)=n

Answer 1

ABA是逆当且仅当ABAB = E,即(AB)^2 = E.

充分性：记C=AB,若rank(E-C) + rank(E+C) = n,考虑下述的分块矩阵用一系列初等变换：

E+C 0

0 E-C

E+C E-C

0 E-C

2E E-C

E-C E-C

2E E-C

0 E-C - (E-C)(E-C)/2

2E 0

0 E-C - (E-C)(E-C)/2

由于初等变换保秩,所以第一个矩阵和最后一个矩阵秩相等.

第一个矩阵由条件秩为n,所以最后一个矩阵中分块的部分

E-C - (E-C)(E-C)/2 = (E+C)(E-C)/2 = 0

所以C^2 = E,证毕.