Question

A为n阶矩阵,且rankA=rankA^2,证明：rankA=rankA^3

Answer 1

用Jordan标准型处理.

设 e1,e2,...,es 是A的一个对应于特征根r的Jordan块的一组基.即：

Aei=rei +e(i+1),i=1,...,s-1; Aes=res.

情形1：

如果 r 非零,则 rank{Ae1,...,Aes} = s = rank{A^3e1,...,A^3es}

情形2：

如果 r=0.则

rank{Ae1,...,Aes} =rank{e2,...,es,0}= max{s-1,0}

rank{A^2e1,...,A^2es}=rank{e3,...,es,0,0}= max{s-2,0}

因为 rankA = rank A^2,==> max{s-1,0} =max{s-2,0} ==> s rank{Ae1}=0=rank{A^3e1}

于是把每个Jordan块的上述的一组基,合在一起,称为 a1,a2,.,an,构成 为R^2的一组基,

则有：rank A = rank{Aa1,Aa2,.,Aan}

=rank{A^3a1,A^3a2,...,A^3an} ------- 根据上面的证明.

=rankA^3