Question

在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=3cm，BC=4cm，∠B=∠C=60°，点P从点A开始沿AB边向点B运动，Q

Answer 1

解题思路：（1）证明AP=EQ即可得到结论；

（2）若四边形APEQ是矩形，则△BPE为直角三角形，且∠B=∠C=60°，据此可以求得点P的运动时间．

（3）若四边形APEQ是菱形，可以借用余弦定理来解决问题；

（4）四边形APEQ不能是正方形．由（2）知Rt△BPE中，∠B=60°，∠BEP=30°，可以得到答案．

（1）∵QE∥AB，

∴∠QEC=∠B=∠C=60°，即△QEC是等边三角形，

∴QE=EC=CQ=AP，四边形APEQ是平行四边形．

（2）当四边形APEQ是矩形时，∠PAQ=BPE=90°，

在Rt△BPE中，

∵∠B=60°，

∴∠BEP=30°，

∴BP=[1/2]BE=[1/2]（BC-CE）=[1/2]（4-CE），

BP=AB-AP=3-AP，AP=CE=2，

即P运动2秒，四边形APEQ是矩形．

（3）当四边形APEQ是菱形时，

设AP=PE=EQ=QA=x，PB=3-x，BE=4-x

在△PBE中，应用余弦定理得：PE²=PB²+BE²-2PB×BEcos∠B

x²=（3-x）²+（4-x）²-2（3-x）×（4-x）×cos60°，解得x=[13/7]，

（4）四边形APEQ不能是正方形．由（2）知Rt△BPE中，∠B=60°，∠BEP=30°，

必有PE=

3

2BE，但EQ=EC=4-BE，从而PE≠EQ．

点评：

本题考点： 正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定．

考点点评： 本题考查了四边形的判定与证明方法，以及特殊四边形的判定与证明的方法，解题的关键在于熟练记忆特殊四边形的性质定义．