Question

已知等差数列{an}中，d＞0，a3a7=-16，a2+a8=0，设Tn=|a1|+|a2|+…+|an|．求：

Answer 1

解题思路：（1）由等差数列的性质可得a₂+a₈=a₃+a₇=0，结合a₃a₇=-16，且d＞0可求a₃，a₇，进而可求公差d，等差数列的通项

（II）结合（I）的通项，可知需要对n分类讨论：当1≤n≤15时T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=-（a₁+a₂+…a_n）

当n≥6时T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=-（a₁+a₂+…a₅）+a₆+a₇+…+a_n=-2（a₁+a₂+…+a₅）+a₁+a₂+…+a_n，从而可求

（1）由等差数列的性质可得a₂+a₈=a₃+a₇=0，

∵a₃a₇=-16，且d＞0（2分）

∴a₃=-4，a₇=4，4d=a₇-a₃=8

∴d=2

∴a_n=a₃+（n-3）d=-4+2（n-3）=2n-10．…（6分）

（II）当1≤n≤5时，T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=-（a₁+a₂+…a_n）=-[−8+2n−10/2•n＝9n−n2．…（9分）

当n≥6时，T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=-（a₁+a₂+…a₅）+a₆+a₇+…+a_n

=-2（a₁+a₂+…+a₅）+a₁+a₂+…+a_n

=−

−8+0

2×5+

−8+2n−10

2•n＝n2−9n+40

综上：T_n=

9n−n2(1≤n≤5)

n2−9n+40(n≥6)]．…（13分）

点评：

本题考点： 数列的求和；等差数列的通项公式．

考点点评： 本题主要考查了等差数列 的性质的应用，等差数列的通项公式an=am+（n-m）d及d＝an−amn−m、等差数列求和公式的应用，属于综合性试题