解题思路:(1)分类讨论参数a,满足f′(x)=0的点附近的导数的符号的变化情况,来确定极值点,从而求出极值;
(2)先求出f(x)在区间[-2,1]的极值,将f(x)的各极值与其端点的函数值比较,其中最大的一个就是最大值,最小的一个就是最小值,建立两个等量关系,求出参数a,b即可.
解(Ⅰ)∵f(x)=ax3-2ax2+b,
∴f′(x)=3ax2-4ax=ax(3x-4)
令f′(x)=0,得x1=0,x2=
4
3
ia<0时
函数的极值点是0,[4/3],0是极小值点,[4/3]是极大值点(5分)
ii、a>0时
同理可以验证0是极大值点,[4/3]是极小值点(6分)
(Ⅱ)f(x)在区间[-2,1]上最大值是5,
最小值是-11,f′(x)=0,x1=0,x2=
4
3∉[−2,1]
若a>0,
(8分)
因此f(0)必为最大值,∴f(0)=5,得b=5,
∵f(-2)=-16a+5,f(1)=-a+5,∴f(1)>f(-2)
∴f(-2)=-16a+5=-11,∴a=1
∴f(x)=x3-2x2+5;(11分)
若a<0,同理可得f(0)为最小值,∴f(0)=-11,得b=-11,
∵f(-2)=-16a+5,f(1)=-a+5,∴f(-2)>f(1)
∴f(-2)=f(x)max=5,∴a=-1∴f(x)=-x3+2x2-11.(14分)
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的极值;函数解析式的求解及常用方法;利用导数求闭区间上函数的最值.
考点点评: 本题主要考查了利用导数研究函数的极值,以及待定系数法求函数解析式和利用导数求闭区间上函数的最值,属于中档题.