已知f(x)=ax3-2ax2+b,(a≠0).

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  • 解题思路:(1)分类讨论参数a,满足f′(x)=0的点附近的导数的符号的变化情况,来确定极值点,从而求出极值;

    (2)先求出f(x)在区间[-2,1]的极值,将f(x)的各极值与其端点的函数值比较,其中最大的一个就是最大值,最小的一个就是最小值,建立两个等量关系,求出参数a,b即可.

    解(Ⅰ)∵f(x)=ax3-2ax2+b,

    ∴f′(x)=3ax2-4ax=ax(3x-4)

    令f′(x)=0,得x1=0,x2=

    4

    3

    ia<0时

    函数的极值点是0,[4/3],0是极小值点,[4/3]是极大值点(5分)

    ii、a>0时

    同理可以验证0是极大值点,[4/3]是极小值点(6分)

    (Ⅱ)f(x)在区间[-2,1]上最大值是5,

    最小值是-11,f′(x)=0,x1=0,x2=

    4

    3∉[−2,1]

    若a>0,

    (8分)

    因此f(0)必为最大值,∴f(0)=5,得b=5,

    ∵f(-2)=-16a+5,f(1)=-a+5,∴f(1)>f(-2)

    ∴f(-2)=-16a+5=-11,∴a=1

    ∴f(x)=x3-2x2+5;(11分)

    若a<0,同理可得f(0)为最小值,∴f(0)=-11,得b=-11,

    ∵f(-2)=-16a+5,f(1)=-a+5,∴f(-2)>f(1)

    ∴f(-2)=f(x)max=5,∴a=-1∴f(x)=-x3+2x2-11.(14分)

    点评:

    本题考点: 利用导数研究函数的极值;函数解析式的求解及常用方法;利用导数求闭区间上函数的最值.

    考点点评: 本题主要考查了利用导数研究函数的极值,以及待定系数法求函数解析式和利用导数求闭区间上函数的最值,属于中档题.