Question

已知两函数f（x）=8x 2 +16x-m，g（x）=2x 3 +5x 2 +4x，（m∈R）若对∀x 1 ∈[-3，3

Answer 1

若对∀x ₁∈[-3，3]，∃x ₂∈[-3，3]，恒有f（x ₁）＞g（x ₂）成立，只需在∈[-3，3]上f（x）min＞g（x）min即可．

f（x）=8x ²+16x-m=8（x+1） ²-m-8，f（x）min=f（-1）=-m-8

g（x）=2x ³+5x ²+4x，g′（x）=6x ²+10x+4=（x+1）（6x+4），

在x∈（-3，-1）∪（ -

2

3 ，3]，g′（x）＞0，（-3，-1）与（ -

2

3 ，3]是g（x）单调递增区间．在x∈（-1， -

2

3 ），g′（x）＜0，（-1， -

2

3 ，]是g（x）单调递减区间．

g（x）的极小值为g（ -

2

3 ）= -

28

27

，又g（-3）=-21，所以g（x）min=-21

所以-m-8＞-21，解得m的范围为m＜13．