在△ABC中,已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且2cosAsinB=sinC,试确定△ABC的形状.

1个回答

  • 解题思路:由已知2cosAsinB=sinC=sin(A+B),结合和差角公式可求得A=B,由(a+b+c)(a+b-c)=3ab,可得a2+b2-c2=ab,利用余弦定理可得C,从而可判断三角形的形状.

    由三角形的内角和公式可得,2cosAsinB=sinC=sin(A+B)

    ∴2cosAsinB=sinAcosB+sinBcosA

    ∴sinAcosB-sinBcosA=0,

    ∴sin(A-B)=0,∴A=B

    ∵(a+b+c)(a+b-c)=3ab

    ∴(a+b)2-c2=3ab

    即a2+b2-c2=ab

    由余弦定理可得cosC=

    a2+b2−c2

    2ab=[1/2]

    ∵0<C<π,∴C=[π/3],∴A=B=C=[π/3]

    故△ABC为等边三角形

    点评:

    本题考点: 三角形的形状判断.

    考点点评: 本题考查两角和与差的三角公式及余弦定理解三角形,解题的关键是熟练掌握三角基本公式.