已知{向量a,向量b,向量c}是空间的一个基地,求证:{向量a+向量b,向量a-向量b,向量c}也构成空间的一个基底

1个回答

  • 这...显然是大学线性代数或者高等代数的题

    只要证明这三个新向量线性无关即可(因为三维空间之多有三个基),或者证明空间中任何一个向量可以由着三个新向量表示

    具体证明如下

    法一:

    设如果存在三个数x,y,z使得x(a+b)+y(a-b)+zc=0(零向量)

    则(x+y)a+(x-y)b+zc=0

    由a,b,c线性无关可知x+y=0,x-y=0,z=0

    即新的三个向量线性无关

    法二:

    对于空间中任何一个向量w=xa+yb+zc=0.5(x+y)(a+b)+0.5(x-y)(a-b)+zc

    即空间中任何一个向量可以由着三个新向量表示

    其实第二种方法是不严谨的,但是对于高中的要求已经足够了