Question

已知双曲线的两条渐近线均和圆C:(x-1)^2+y^2=1/5相切,且双曲线右焦点为抛物线y=4倍根号5的焦点

Answer 1

双曲线右焦点为抛物线y^2=4√5x的焦点(√5,0）,

∴a^2+b^2=c^2=5,

∴设双曲线的标准方程是x^2/a^2-y^2/(5-a^2)=1,

其渐近线x/a土y/√(5-a^2)=0和圆C:(x-1)^2+y^2=1/5相切,

∴圆心C(1,0)到渐近线的距离=（1/a)/√[1/a^2+1/(5-a^2)]=1/√5,

平方,求倒数得1+a^2/(5-a^2)=5,

a^2=4(5-a^2),a^2=4,

∴双曲线的标准方程是x^2/4-y^2=1.