1/(1+sinx)的不定积分怎么求?arctan根号下(根号x-1)的不定积分怎么求?

2个回答

  • 我来帮你!楼主

    1.三角换元 + 万能公式

    令tan(x/2)=t ,则sinx=2t/(1+t^2),dx=2dt/(1+t^2),带入整理,

    ∫1/(1+sinx)dx =∫2dt/(1+2t+t^2)= 2∫dt/(1+t)^2

    = -2/(1+t)+ C = -2/[1+tan(x/2)]+ C

    2.直接整体换元

    令arctan√(√x-1)=t ,则 √x-1=(tant)^2,x= (sect)^4,

    ∫arctan√(√x-1)dx = ∫td((sect)^4)

    =t(sect)^4 -∫[(sect)^4]dt

    =t(sect)^4 -tant-1/3×(tant)^3 +C

    =……(把t的函数替换为x的函数就行了)

    注:∫[(sect)^4]dt =∫[1+(tant)^2]^2dt

    =∫[1+2(tant)^2+(tant)^4]dt

    =t+2(tant-t)+1/3×(tant)^3-tant+t+C

    =tant+1/3×(tant)^3+C

    其中,

    ∫(tant)^2dt = ∫[(sect)^2-1]dt = tant-t + C

    ∫(tant)^4dt =∫(tant)^2×[(sect)^2-1]dt

    =∫(tant)^2×d(tant)-∫(tant)^2dt

    =1/3×(tant)^3-tant+t+C

    第2题就是三角函数的积分的处理比较麻烦,但并不很难,常用的方法,

    PPPS:强烈建议楼主加到100分,这题绝对值,多谢!