(2011•沈河区一模)如图,已知等边三角形ABC中,点D、E、F分别为AB、AC、BC边的中点,M为直线BC上一动点,

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  • 解题思路:(1)连接DE,DF,EF.根据三角形的中位线定理得到等边三角形DEF,再根据SAS证明△DMF≌△DNE,从而得到结论;

    (2)类似(1)中的证明思路,显然结论仍然成立;

    (3)连接DF,NF,EF.根据SAS证明△DBM≌△DFN,从而得到∠DFN=∠DBM=120°,再根据平角定义即可证明.

    (1)证明:连接DE,DF,EF.(1分)

    ∵△ABC是等边三角形,

    ∴AB=AC=BC.

    又∵DE,DF,EF为三角形的中位线.

    ∴DE=DF=EF,∠FDE=60°.

    又∠MDF+∠FDN=60°,∠NDE+∠FDN=60°,

    ∴∠MDF=∠NDE.(3分)

    又∵DM=DN,

    ∴△DMF≌△DNE.(4分)

    ∴MF=NE.(5分)

    (2)画出图形(如答图).(7分)

    MF与NE相等的结论仍然成立.(8分)

    (3)点F在直线NE上.(9分)

    连接DF,NF,EF.

    由(1),知DF=[1/2]AC=[1/2]AB=DB.

    又∠BDM+∠BDN=60°,∠NDF+∠BDN=60°,

    ∴∠BDM=∠NDF,

    又∵DM=DN,

    ∴△DBM≌△DFN.(10分)

    ∴∠DFN=∠DBM=120°.

    又∵∠DFE=60°.

    ∴∠NFE=∠DFN+∠DFE=180°.(11分)

    可得点F在NE上.(12分)

    点评:

    本题考点: 等边三角形的性质;全等三角形的判定与性质.

    考点点评: 此题综合运用了等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质.全等是证明线段相等的常用方法,证明三点共线的方法是利用平角定义.