Question

求证每个数增加a方差不变 每个数扩大a倍方差扩大a²倍

Answer 1

证：平均值公式

—— E(x) = Σ(xi*pi) ←（pi是当x取值xi时的概率）

方差公式

—— D(x) = Σ【[ xi-E(x) ]² *pi】

当每个数都增加a时

均值 = E(x+a) = Σ[(xi+a)*pi

= Σ(xi*pi) + a*Σpi

= E(x) + a ←（∵Σpi=1）

∴方差 D(x+a) = Σ【[ xi+a - E(x+a) ]² *pi】

= Σ【[ xi+a - E(x) - a ]² *pi】

= Σ【[ xi-E(x) ]² *pi】

= D(x)

当每个数都扩大a倍时

均值 = E(ax) = Σ[(axi)*pi

= aΣ(xi*pi)

= a*E(x)

∴方差 D(ax) = Σ【[ axi - E(ax) ]² *pi】

= Σ【[ axi - aE(x) ]² *pi】

= a² Σ【[ xi-E(x) ]² *pi】

= a² * D(x)

∴D(x+a) = D(x) ,D(ax)=a² * D(x) 得证

（证毕）