这个解答的中间过程是有问题的,但是思路和结果是对的.
解答的错误出在Leibniz公式上,应该是(x-a)ⁿ的n-k-1阶导数.
这样得到的每一项都至少含有x-a的1次幂,因此f⁽ⁿ⁻¹⁾(a) = 0.
接下来计算f⁽ⁿ⁾(a) = lim{x → a} (f⁽ⁿ⁻¹⁾(x)-f⁽ⁿ⁻¹⁾(a))/(x-a) = lim{x → a} f⁽ⁿ⁻¹⁾(x)/(x-a).
注意到f⁽ⁿ⁻¹⁾(x)各项中除了k = 0的项是n!(x-a)φ(x)外,
其它各项都含有(x-a)的至少2次幂.
于是在除以(x-a)后,x → a时k ≥ 1的各项都趋于0 (注1),只剩下k = 0的n!φ(x) → n!φ(a) (注2).
因此f⁽ⁿ⁾(a) = n!φ(a).
注1:为了保证这一点,最好需要φ的n-1阶导数有一定的有界性,否则有反例.
原题没有这方面的条件,可以构造f⁽ⁿ⁾(a)不存在的反例.
注2:n > 1时由φ(x)的连续性没有问题,但是n = 1时需要φ(x)在a连续的条件.
综合这两点,更合适的题目条件是φ在a的某邻域内具有连续的n-1阶导数.