Question

高中复数题一道复平面内A,B两点分别对应1和i,复数z在线段AB上移动,求z^2对应的点的轨迹.

Answer 1

A(1,0),B(0,1),

线段AB的方程为x+y=1(x>0,y>0).

设复数z对应点M(u,v),则u+v=1(1>u>0,1>v>0).

z=u+vi,

z^2=u^2-v^2+2uvi,

设z^2对应负数x+yi,

则x=u^2-v^2=(u+v)(u-v),y=2uv,

∵ u+v=1,

∴x= u-v,y=2uv,

因为(u-v)^2+4uv=(u+v)^2,将上式代入得：

X^2+2y=1,

∵1>u>0,1>v>0,∴y=2uv>0.

z^2对应的点的轨迹方程是x^2+2y=1( y>0),是抛物线的一部分.