Question

已知y=f（x）是奇函数，它在（0，+∞）上是增函数，且f（x）＜0，问F（x）=1f(x)在（-∞，0）上是增函数还是

Answer 1

解题思路：根据函数奇偶性的性质以及函数单调性之间的关系即可得到结论．

∵y=f（x）是奇函数，在（0，+∞）上是增函数且f（x）＜0，

∴在（-∞，0）上f（x）＞0，且单调递减，

则F（x）=

1

f(x)在（-∞，0）上是增函数．

证明：设x₁＜x₂＜0，

则F（x₁）-F（x₂）=

1

f(x1)−

1

f(x2)=

f(x2)−f(x1)

f(x1)f(x2)，

∵在（-∞，0）上f（x）＞0，且单调递减，

∴f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₁）f（x₂）＞0，

则F（x₁）-F（x₂）＞0，

即F（x₁）＞F（x₂），

则F（x）=

1

f(x)在（-∞，0）上是增函数．

点评：

本题考点： 奇偶性与单调性的综合．

考点点评： 本题主要考查函数单调性的判断和证明，根据函数奇偶性和单调性的性质，结合函数单调性的定义是解决本题的关键．