Question

用[x]表示不大于x的最大整数,则方程x^2-2[x]-3=0 的解的个数为(3)

Answer 1

分析：[x]是个欧拉函数.当x为整数时,[x]=x.当x不是整数时有：[x]=x-{x}.其中{x}是小数.所以,方程x^2-2[x}-3=0的解的个数为4个.见下面的证明.

证明：当x是整数时,[x]=x,原方程可写为

x^2-2x-3=0

解以上方程得：

x1=(2-根号下（2^2+4*3))/2=1-4=-3;

x2=(2+根号下（2^2+4*3))/2=1+4=5.

当x不是整数时,[x]=x-{x},原方程可写为

x^2-2(x-{x}}-3=0

此时,{x}是小数,故此可作为常量.于是以上方程可改写为

x^2-2x+(2{x}-3)=0

解以上方程得：

x3=(2-根号下（2^2-4*(2{x}-3))/2

=1-根号下（2^2-4*(2{x}-3))/2;

x4=(2+根号下（2^2-4*(2{x}-3))/2

=1+根号下（2^2-4*(2{x}-3))/2.

所以,方程x^2-2[x}-3=0的解的个数有4个.

证毕.