（1）判断：AD平分∠BAC．
证明：
证法一：连接OD；
∵BC切⊙O于D，
∴OD⊥BC，
又△ABC为Rt△，且∠C=90°，
∴AC⊥BC，
∴OD ∥ AC，
∴∠1=∠2；
又∵OA=OD，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠3．
证法二：连接ED；
∵AE是⊙O直径，
∴∠ADE=90°，
∴∠3+∠AED=90°；
又∵∠C=90°，
∴∠1+∠ADC=90°，
又∵∠AED=∠ADC，
∴∠1=∠3．
证法三：连接EF，DF；
∵AE是⊙O直径，
∴∠AFE=90°，
又∵∠ACE=90°，
∴∠AFE=∠ACB，
∴EF ∥ BC，
∴∠4=∠5；
又∵∠3=∠4，∠1=∠5，
∴∠1=∠3．
（2）
解法一：设BE=x，则BD=3BE=3x，
据切割线定理得BD 2=BE×BA，
得AB=9x，OA=OE=4x；
又∵OD ∥ AC，
∴
OB
OA =
BD
CD ，即：
5x
4x =
3x
3 ，
∴x=
5
4 ，
∴⊙O的半径为5．
解法二：
如图，过O作OG⊥AC，又AC⊥BC，OD⊥BC，
则四边形ODCG为矩形．
∴OG=CD=3，OG ∥ BC；
又OG ∥ BC，
∴
OG
BC =
OA
AB ，
∴
3
3x+3 =
4x
9x ，
∴x=
5
4 ，x=0，（舍去）
∴⊙O的半径为5．
备注：本解法是在解法一得AB=9x，OA=OE=4x的基础上进行的．