解题思路:(1)由切割线定理可得DT•DM=DB•DA,结合题中中点条件利用半径作为中间量进行代换,即可得证;
(2)结合(1)的结论证得△DTO∽△DCM,得到两个角∠DOT、∠DMC相等,结合圆周角定理即可求得∠BMC.
证明:(1)因MD与圆O相交于点T,
由切割线定理DN2=DT•DM,DN2=DB•DA,
得DT•DM=DB•DA,设半径OB=r(r>0),
因BD=OB,且BC=OC=[r/2],
则DB•DA=r•3r=3r2,DO•DC=2r•
3r
2=3r2,
所以DT•DM=DO•DC.
(2)由(1)可知,DT•DM=DO•DC,
且∠TDO=∠CDM,
故△DTO∽△DCM,所以∠DOT=∠DMC;
根据圆周角定理得,∠DOT=2∠DMB,则∠BMC=30°.
点评:
本题考点: 与圆有关的比例线段;圆內接多边形的性质与判定.
考点点评: 本题主要考查与圆有关的比例线段、圆中的切割线定理以及相似三角形,属于基础题.