Question

已知f（x）=1+2x+2•4x，若f（x）＞a恒成立，则实数a的取值范围是______．

Answer 1

解题思路：设t=2^x，利用换元法将函数转化为一元二次函数，利用一元二次函数的最值性质即可得到结论．

设t=2^x，则t＞0，

则函数f（x）等价为g（t）=1+t+2t²=2（t+[1/4]）²+[7/8]，

函数的对称轴t=-[1/4]，

∵t＞0，

∴函数g（t）在（0，+∞）上单调递增，

∴g（t）＞g（0）=1，

即函数f（x）＞1，

若f（x）＞a恒成立，则a≤1，

故答案为：（-∞，1]．

点评：

本题考点： 函数恒成立问题．

考点点评： 本题主要考查函数恒成立问题，利用换元法结合指数函数的图象和性质，转化为一元二次函数是解决本题的关键．