Question

已知：在Rt△ABC中，∠BCA=90°，AC=3，BC=4，CD是斜边AB边上的高，点E、F分别是AC、BC边上的动点

Answer 1

（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB²=BC²+AC²=4²+3²，

解得：AB=5，

又S_△ABC=[1/2]AB•CD=[1/2]AC•BC=6，

∴CD=[12/AB＝

12

5]，

∵四边形CEDF是矩形，

∴EF=CD=[12/5]；

（2）△DEF与△DAC相似，理由如下：

∵∠FDE=90°，

∴∠FDC+∠CDE=90，

∵CD⊥AB，

∴∠CDA=90°，

∴∠CDE+∠EDA=90，

∴∠FDC=∠EDA，

∵∠FCD+∠DCA=90，∠A+∠DCA=90，

∴∠FCD=∠A，

∴△FDC∽△DEA，

∴[DF/DE＝

DC

DA]，

又∵∠FDE=∠CDA=90°，

∴△DEF∽△DAC；

（3）△EFG能为等腰三角形，理由如下：

①如图3：如图所示：设AE=x，

在等腰△EFG中，若EF=EG，

∴∠G=∠EFD，

∵∠DFE=∠DCA，

∴∠DCA=∠G，

∴CD=DG，

又∵DF=DG（三线合一）

∴DF=DC，∠CDA=∠EDF=90°，

∴△ACD≌△EFD，

∴EF=AC=3，

∴EF²=AC²

∴[25/9]x²-6x+9=9

解得x=[54/25]，

∴AE=[54/25]，

②如图4：若EF=GF，

∵EF=FG，EA⊥BC，

∴C为EG中点

∴CD=CE=[12/5]，

∵AC=3，

∴AE=3-[12/5]=[3/5]，

∴△EFG能成为等腰三角形，AE的长为[3/5]或[54/25]．