解题思路：由圆上存在关于已知直线对称的两点，可得已知直线为两交点连线的垂直平分线，根据垂径定理可得已知直线过圆心，故将圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标，代入已知的直线方程，即可求出c的值．
圆x2+y2-2x+6y+1=0化为标准方程得：
（x-1）2+（y+3）2=9，
∴圆心坐标为（1，-3），
把圆心坐标代入直线方程得：2-3+c=0，
解得c=1．
故选B
点评：
本题考点： 直线与圆相交的性质．
考点点评： 此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有圆的标准方程，以及垂径定理的运用，根据题意得出已知直线过圆心是解本题的关键．