解题思路:(1)根据在点(1,f(1))处的切线方程,只须求出其斜率的值即可,故先利用导数求出在x=1处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.再列出一个等式,最后解方程组即可求得a.,再利用导数,根据f′(x)>0求得的区间是单调增区间,f′(x)<0求得的区间是单调减区间,最后求出极值即可.
(2)先求导,再根据a的值进行分类讨论即可.
(3)先求出g(x)的导数,再分a≥0,a<0,进行讨论,当a<0,构造函数h(x)=ax2+x-1,求得a的范围.
(1)f′(x)=a+
1
x=
ax+1
x,有f'(1)=0,
得a=-1,故f′(x)=
−x+1
x,
令f'(x)>0,得x∈(0,1),故f(x)在(0,1)递增,
令f'(x)<0,得x∈(1,+∞),故f(x)在(1,+∞)递减,
故f(x)的增区间为(0,1),减区间为(1,+∞),f极大值(x)=f(1)=-1,无极小值,
(2)f′(x)=
ax+1
x(x>0)
①当a≥0时,f'(x)>0,故f(x)在(0,+∞)递增,
②当a<0时,令f'(x)>0,得x∈(0,−
1
a),
令f'(x)<0,得x∈(−
1
a,+∞),
所以f(x)在(0,-[1/a])递增,在f(x)在(-[1/a],+∞)递减,
综上:当a≥0时,f(x)在(0,+∞)递增
当a<0时,f(x)在(0,-[1/a])递增,在f(x)在(-[1/a],+∞)递减,
(3)由题意可知:g(x)=ax+lnx+
1
x在[2+∞)上是单调函数g′(x)=
1
x−
1
x2+a=
ax2+x−1
x2
当a≥0时,ax2+x-1在[2,+∞)上恒大于零,即f'(x)>0,符合要求;
当a<0时,令h(x)=ax2+x-1,则由题意可知△=1+4a≤0或
△=1+4a>0
h(2)≤0
−
1
2a≤2,
解得:a≤−
1
4.
∴a的取值范围是(−∞,−
1
4]∪[0,+∞)
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程.
考点点评: 本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性、导数的应用等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于中档题.